Движение по
эллиптической орбите
|
Рис. 5. Параметры эллиптической орбиты.
|
Для описания движения по эллиптической
орбите необходим ряд специальных параметров [11]. На рис. 5
введены следующие обозначения: S - фокус эллипса, О - его центр,
Р - перицентр, А - апоцентр, q = |SP| - расстояние в перицентре,
a = |ОА| - большая полуось. Для произвольной точки В в момент
времени t угол между ее радиус-вектором SB и направлением на
перицентр SP - это истинная аномалия u
(см. Элементы орбиты).
Теперь построим окружность радиуса а
с центром в центре эллипса О и опустим перпендикуляр BN из точки
В на линию апсид АР. Продолжение этого перпендикуляра пересечет
окружность в точке B'. Угол при центре эллипса О между прямой
OB' и линией апсид ОР называется эксцентрической
аномалией Е. Как и истинная аномалия,
Е измеряется от 0њ
до 360њ в сторону движения.
Если обозначить через Т время полного
оборота (период обращения) точки В по эллипсической орбите,
то можно написать: 360њ =
nT, или n=360њ/T, где n - это средняя
угловая скорость движущейся точки, которая называется средним
движением. Теперь представим себе некую фиктивную точку
B'', движущуюся по окружности радиуса а с постоянной угловой
скоростью n и проходящую через точку P (перицентр) одновременно
с обращающейся по эллиптической орбите точкой В. Угол М, образуемый
радиус-вектором OB" этой фиктивной точки и направлением на перицентр
ОР, называется средней аномалией
и отсчитывается от 0њ
до 360њ в направлении движения точки В.
Очевидно, что для произвольного момента времени t среднюю аномалию
можно выразить через среднее движение n и время прохождения
перицентра t: М = n*(t - t).
При t = t (момент прохождения перицентра)
u = E = M = 0њ,
а при t = t + T/2 (момент прохождения
апоцентра) u = E = M = 180њ.
Как уже упоминалось выше, эллиптическое
движение осуществляется при условии V02 <
2*GM/r0 . Связь между различными параметрами эллиптической
орбиты может быть выражена следующими соотношениями:
1. Между эксцентрической аномалией Е
и средней аномалией М (уравнение Кеплера)
E - e*sin(E)=M
(7)
2. Между радиус-вектором r движущегося тела и эксцентрической
аномалией
r=a*(1-e*cos(E))
(8)
3. Между скоростью V и радиус-вектором
r
V2=G*M*(2/r - 1/a)
(9)
4. Между истинной аномалией и эксцентрической аномалией
tg(u/2)
= ((1+e)/(1-e))1/2*tg(E/2)
(10)
5. Между радиус-вектором и истинной аномалией
r = a*(1-e2)/(1+e*cos(u))
(11)
Как видно из (9), когда движущееся тело приходит в перицентр,
его радиус-вектор достигает минимального значения q=a*(1-e),
а скорость - максимального, определяемого формулой V2max=G*M/a*(1+e)/(1-e).
В апоцентре, наоборот, радиус-вектор максимален Q=a*(1+e), а
скорость движения минимальна V2min=G*M/a*(1-e)/(1+e).
Отсюда можно получить, что Vmin/Vmax=
(1-e)/(1+e) = q/Q. Формула для периода обращения по эллиптической
орбите аналогична формуле (6) для круговой орбиты, только вместо
радиуса орбиты берется ее большая полуось:
T = 2*p*a3/2*(G*M)-1/2
(12)
Определенный интерес также представляет зависимость параметров
орбиты от начальных условий в некоторый момент времени: радиус-вектора
r0
, скорости V0
и угла d0,
образуемого радиус-вектором и направлением скорости [11]. Зависимости
величины фокального параметра и эксцентриситета от начальных
условий выглядят так:
p = r02*V02*sin2(d0)/G/M
(13)
e = 1 + (r0*V02
- 2*G*M)*r0*V02*sin2(d0)/(G*M)2
(14)
Из (13) следует, что что при возрастании угла d0
от 0њ до 90њ
параметр p также растет от 0 до pmax = r02*V02/G/M,
а когда d0
изменяется от 90њ до 180њ,
p убывает от pmax до 0. При d0
= 0њ и d0
= 180њ параметр p = 0 и орбита вырождается
в отрезок прямой.
Выражение e через начальные параметры
из (14) зависит от знака разности r0*V02
- 2*G*M, который определяет тип орбиты. При r0*V02
- 2*G*M < 0 орбита всегда остается эллипсом, и при
изменении угла d0
от 0њ до 90њ
e уменьшается от 1 до emin = (r0*V02
- G*M)/G/M, а при увеличении d0
от 90њ до 180њ
e снова увеличивается от emin до 1. Поскольку q =
p/(1+e), то при увеличении d0
от 0њ до 180њ
расстояние в перицентре q растет от 0 до r0.
Величину большой полуоси a и малой полуоси b также можно выразить
через начальные параметры:
a = G*M*r0/(2*G*M
- r0*V02)
(15)
b = a*(1-e2)1/2 = r03/2*V0*sin(d0)/(2*G*M
- r0*V02)1/2
(16)
В предельном случае (при sin(d0)=0)
эллипс вырождается в конечный отрезок прямой, длина которого
равна 2*a и концы которого одновременно являются и фокусами,
и вершинами вырожденного эллипса, причем один из его концов
- перицентр - совпадает с началом координат, т.е. с притягивающим
центром.
|