Движение по гиперболической орбите

Для гиперболической орбиты выполняется условие V₀² > 2*G*M/r₀ .

Рис. 6. Параметры гиперболической орбиты.

При рассмотрении гиперболического движения вводится особый параметр F, подобный эксцентричесой аномалии у эллипса. На рис. 6 применены следующие обозначения: S - фокус гиперболы, Р - ее вершина (перицентр), C - ее центр. Положение на гиперболе произвольной точки В определяется углом между радиус-вектором SB и направлением оси апсид SP - истинной аномалией u. Если из точки В опустить перпендикуляр BN на линию апсид и из точки их пересечения N провести касательную к окружности радиуса a (длина действительной полуоси гиперболы) с центром в центре гиперболы С, получим точку касания B'. Угол между радиусом этой точки и направлением на перицентр и обозначается как угол F.

Уравнение движения по гиперболе - зависимость параметра F от времени t (аналог уравнения Кеплера (7) для эллиптического движения) выглядит так:

    e*tg(F) - ln(tg(F/2+45њ)) = (G*M)^1/2*a^-3/2*(t-t)                (21)

Связь между различными параметрами эллиптической орбиты может быть выражена следующими соотношениями [11]:
    tg(u/2) = ((e+1)/(e-1))^1/2*tg(F/2)                                       (22)
    V² = G*M*(2/r + 1/a)                                                      (23)
    r = a*(e*sec(F) - 1)                                                         (24)

При t = t (прохождение перицентра) u = 0 и радиус-вектор достигает минимального значения r_min = q = a*(e-1), а скорость - максимального V²_max=G*M/a*(e+1)/(e -1). При возрастании r до бесконечности истинная аномалия увеличивается до предельного значения u_max = arccos(-1/e), параметр F достигает максимального значения F_max= 90њ, а скорость - минимального значения V²_min= G*M/a.

Зависимость эксцентриситета e гиперболы от начальных радиус-вектора, скорости и угла между ними видна из формулы (14). При изменении угла d₀ от 0њ до 90њ e растет от 1 до e_max = (r₀*V₀² - G*M)/G/M, а при увеличении d₀ от 90њ до 180њ e снова уменьшается от e_max до 1. Если через а обозначить действительную ось гиперболы, то
    a = G*M*r₀/(r₀*V₀² - 2*G*M)                                              (25)

В предельном случае, аналогично параболе, при sin(d₀)=0 гипербола вырождается в полупрямую, выходящую из начала координат, которое является одновременно и вершиной, и фокусом вырожденной гиперболы.