| |
Формулировка
законов Кеплера
Эти три закона движения планет относительно Солнца были выведены
эмпирически немецким астрономом И.Кеплером в начале 17 века
и поэтому названы законами Кеплера. Они сыграли большую роль
в установлении И.Ньютоном закона всемирного тяготения и вошли
в небесную механику в обобщенном и уточненном виде. В такой
форме они описывают орбиты двух гравитационно - связанных небесных
тел при отсутствии возмущений со стороны других тел (т.н. задача
двух тел). Формулировка законов Кеплера в общем случае приведена
далее:
1-й закон. В невозмущенном движении орбита движущегося
тела есть кривая второго порядка (эллипс, парабола или гипербола),
в одном из фокусов которой находится центр силы притяжения (или
центр масс системы).
2-й закон (закон равных площадей). В невозмущенном движении
площадь, описываемая радиус-вектором движущегося тела, измеряется
пропорционально времени (в равные промежутки времени описывает
равные площади).
3-й закон. В отличие от двух первых, применим только
к эллиптическим орбитам. В обобщенном виде обычно формулируется
так: квадраты периодов T1 и T2 обращения
двух тел вокруг Солнца, помноженные на сумму масс каждого тела
(соответственно M1 и M2), и Солнца (MS),
относятся как кубы больших полуосей a1 и
a2 их орбит:
T12*(M1+MS) / T22*(M2+MS)
= a13 / a23
(1)
При этом взаимодействие между телами M1 и M2
не учитывается. Если пренебречь массами этих тел в сравнении с
массой Солнца (M1 << MS , M2
<< MS), то получится формулировка 3-го закона,
данная самим И.Кеплером:
T12 / T22 = a13
/ a23
(2)
3-й закон Кеплера можно также выразить как зависимость между периодом
T обращения по орбите тела с массой M и большой полуосью орбиты
a (G - гравитационная постоянная):
a3 / T2*(M + MS) = G2
/ (4*p2)
(3)
Однако необходимо сделать одно замечание. Для простоты часто говорится,
что одно тело обращается вокруг другого, но это справедливо только
для случая, когда масса первого тела пренебрежимо мала по сравнению
с массой второго (притягивающего центра). Если же массы сравнимы,
то следует учитывать и влияние менее массивного тела на более
массивное. В системе координат с началом в центре масс орбиты
обеих тел будут коническими сечениями, лежащими в одной плоскости
и с фокусами в центре масс, с одинаковым эксцентриситетом. Различие
будет только в линейных размерах орбит (если тела разной массы).
Причем в любой момент времени центр масс будет лежать на прямой,
соединяющей центры тел, а их расстояния до центра масс r1
и r2 тел массой соответственно M1 и M2
связаны следующим соотношением:
r1 / r2
= M2 / M1
Перицентры и апоцентры (если орбиты замкнутые) своих орбит тела
будут также проходить одновременно.
|
Энциклопедия
