Движение по
параболической орбите
Параболу можно рассматривать и как предельный случай эллипса,
и как предельный случай гиперболы. Для параболической орбиты
выполняется условие
V02
= 2*GM/r0
(17)
Скорость V0 называется параболической,
или второй космической скоростью
VII. Сравнивая эту формулу с выражением (5) для первой
космической скорости, можно заметить, что VII = VI*
21/2. При данном расстоянии r0 до притягивающего
центра вторая космическая скорость - это минимальная скорость,
необходимая для преодоления притяжения центрального тела. Для
Земли (r0=6378.1 км) VII= 11.179 км/c.
Для того, чтобы тело навсегда покинуло Солнечную систему, на
расстоянии Земли (r0=149.6 млн. км) ему нужно придать
скорость VIII= 42.1 км/с. Скорость VIII
иногда называют третьей космической скоростью.
Уравнение параболической орбиты можно представить как зависимость
радиус-вектра от фокального параметра p (или расстояния в перицентре
q=p/2) и истинной аномалии u:
r = p/(1+cos(u))
= q*sec2(u/2)
(18)
Уравнение движения по параболе - зависимость истинной аномалии
u от
времени t (и времени прохождения перицентра t)
выглядит так:
1/3*tg3(u/2)
+ tg(u/2)
= (GM/2)1/2*q-3/2*(t -t)
(19)
В параболическом движении истинная аномалия меняется от -90њ
до +90њ. При t = t
(прохождение перицентра) u = 0 и
радиус-вектор достигает минимального значения rmin
= q = 2*p, а скорость - максимального V2max=G*M/q.
При возрастании r до бесконечности скорость
падает до нуля.
Зависимость фокального параметра p от начальных радиус-вектора
r0
и угла d0
между направлением радиус-вектора и направлением начальной скорости
выражается следующим образом:
p = 2*r0*sin2(d0)
(20)
В предельном случае, при sin(d0)=0,
парабола вырождается в полупрямую, выходящую из начала координат,
которое является одновременно и вершиной, и фокусом вырожденной
параболы.
Теперь в качестве примера применения теории эллиптического
и параболического движения можно привести следующую задачу:
сколько времени понадобится ракете, стартующей с земной орбиты
с минимально необходимой начальной скоростью, чтобы удалиться
от Солнца на 1 пк? Если представить орбиту параболической, то
минимальная начальная скорость будет примерно равна VIII=
42.1 км/с, и, казалось бы, для решения задачи нужно просто разделить
1 пк на VIII, что составит 23228 лет. Однако
нетрудно заметить, что это значение справедливо только при условии
постоянного (в течении 23 тыс. лет!) поддержания скорости ракеты
на уровне 42.1 км/c, т.е. работа двигателей должна постоянно
компенсировать потерю кинетической энергии, связанную с преодолением
притяжения Солнца. Если же ракета разгоняется вблизи орбиты
Земли и дальше движется по инерции, то ее скорость будет постоянно
уменьшаться, и поэтому время, затраченное на преодоление 1 пк,
будет существенно больше. В этом случае проще будет взять эллиптическую
орбиту с a=1 пк, тогда из (12) получим полный период обращения
по такой орбите. Он составит 93.7 млн. лет, то есть искомое
время (половина периода) будет около 46.8 млн. лет! Отсюда ясно,
с какими трудностями сопряжена при современном развитии космической
техники посылка аппарата даже к ближайшей звезде.
|