Законы Кеплера и определение масс небесных тел

Наиболее надежные методы определения масс астрономических объектов основаны на третьем законе Кеплера

Рис. 7

На рис. 7 изображены два сферических объекта с массами M₁ и M₂, обращающиеся вокруг общего центра масс. Расстояние между объектами равно a, соответствующие расстояния до центров масс - a₁ и a₂, так что a = a₁ + a₂ и

        M₁*a₁ - M₂*a₂ = 0                                                         (26)

    Если известна масса одного из тел и положение центра масс системы, то массу второго тела можно получить из (26). Например, расстояние центра Земли от барицентра системы Земля-Луна составляет 0.73 радиуса Земли, а среднее расстояние между центрами Земли и Луны - 60.08 радиусов Земли, откуда следует, что отношение массы Земли к массе Луны составляет 81.3.
    Массу Солнца можно найти, применив выражение 3-го закона Кеплера в форме (1) к движению Земли вокруг Солнца и Луны вокруг Земли, поскольку периоды и большие полуоси известны из наблюдений. Аналогично определяются массы планет, имеющих спутники - естественные или искусственные. Массы планет, не имеющих спутников, вычисляются по возмущениям, которые они оказывают на другие тела - соседние планеты, астероиды, кометы или космические аппараты.
    Массы звезд можно напрямую определить только в в случае, если она входит в физическую двойную систему, расстояние до которой известно и в которой каждый компонент виден по отдельности. В этом случае выражение 3-го закона Кеплера в форме (3) позволяет найти сумму масс, а если известно положение центра масс, то из (26) можно вычислить и их отношение, а оттуда - и массы по отдельности. Такой способ применяется для визуально-двойных звезд.
    В случае, если компоненты системы по отдельности не видны, их массы можно оценить по лучевым скоростям - проекциям орбитальных скоростей на луч зрения. Пусть тела обращаются по круговым орбитам и орбитальная плоскость наклонена к лучу зрения на угол i (рис. 7). Тогда амплитуда вариаций проекции орбитальной скорости тела M₁ на луч зрения будет равна:
        v₁ = 2*p*a₁*sin(i)/P,
где Р - орбитальный период. Согласно 3-му закону Кеплера,

        G*(M₁ + M₂)/a³ = (2*p/P)²

а из (26) следует, что a = (M₁ + M₂)*a₁/M₂ , поэтому

        f(M₁, M₂ , i) = (M₂*sin(i))³/(M₁+M₂)² = P*v₁³/(2*p*G)         (27)

    Правая часть уравнения (27) зависит только от наблюдаемых величин, и притом не зависящих от расстояния до системы - периода обращения системы Р и лучевой скорости v₁ (или a₁*sin(i)), определяемой по периодическому доплеровскому смещению спектральных линий тела M₁. Величина f называется функцией масс двойной системы [13]. Если можно измерить только одну функцию масс двойной системы, то без дополнительных предположений из (27) об отдельных массах судить нельзя.
    Если же известны обе функции масс, f₁ = (M₂*sin(i))³/(M₁+M₂)² и f₂ = (M₁*sin(i))³/(M₁+M₂)² , то их отношение дает отношение масс компонент q = M₁/M₂. Тогда

        M₁ = f₁*q (1+q)²/sin³(i)                                                      (28)

    Для нахождения точного значения M₁ нужно еще знать величину sin(i). В случае затменно-переменных звезд и некоторых рентгеновских источников по кривой блеска удается установить геометрические ограничения на значение sin(i). Если же положить sin(i)=1, то получится нижний предел массы для тела M₁.
    В качестве примера можно привести определение массы известного кандидата в черные дыры рентгеновского источника Лебедь Х-1. Его оптический компонент был отождествлен со звездой HDE 226868. Из оптических наблюдений удалось получить орбитальный период и лучевые скорости, а по ним - функцию масс только для рентгеновского источника. Однако по блеску звезды и ее спектру было оценено расстояние до системы (~2.5 пк), а далее (по светимости) - ее примерная масса (> 8.5 масс Солнца), что и дало массу рентгеновской компоненты > 3.3 массы Солнца, из которой и следует, что этот компонент должен быть черной дырой.   
    Массу Галактики также можно определить по скорости обращения Солнца вокруг центра Галактики (v₀~220 км/с) и расстоянию до него (R₀~3*10²² см), что дает центробежное ускорение Солнца g =  v₀²/R₀ ~ 1.6*10^-8 см/с². Отсюда масса Галактики (без учета внешних по отношению к орбите Солнца частей) составит M_г = g*R₀/G ~ 2.2*10⁴⁴ г. Подобным способом - по анализу кривой вращения - вычисляются и массы других галактик.